Interlude 5. Poisson Reconstruction

Tue, 19 Aug 2025 00:00:00 +0000

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这篇文章将会包含以下内容：

泊松重建的一些前置数学知识
泊松重建算法原理及推导过程

For reference：

0x01 隐函数表达 Implicit Expression

表达一个三维曲面，例如球心位于原点、半径为 $r$ 的球面，可以使用球的标准方程：

$$ F(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0 $$

该方程（形如 $F(x,y,z)=0$）就定义了球面的隐函数表达，它将所有变量都放在等式一侧，隐含了因变量关于自变量的函数关系，在描述球面的情况下，$z$ 关于 $x,y$ 的关系可以显化为：

$$ z=\sqrt{ r^{2}-x^{2}-y^{2} } $$

这就是隐函数的一种显式表达，它描述球面在 $xOy$ 平面以上的部分。如果需要描述整个球面，还需要 $xOy$ 平面以下的部分：

$$ z=-\sqrt{ r^{2}-x^{2}-y^{2} } $$

也就是说显化的隐函数可能无法覆盖所有满足隐函数方程的解集，因为显函数是一一映射，而隐函数可能是一对多或者多对多的映射。

在计算机图形学中，SDF 就是一种常用的可以描述表面的隐函数表达：

$$ \phi(\mathbf{x})=\pm \text{dist}(\mathbf{x},\partial \Omega) $$

SDF 以物体表面为界，空间中任意一点 $\mathbf{x}$ 的 SDF 函数值为与物体表面的带符号距离（物体内部为负、外部为正）。自然的，物体表面可以用 SDF 值为零的水平集描述：

$$ \{\mathbf{x}\,|\,\phi(\mathbf{x})=0\} $$

![使用 SDF 的零水平集描述表面，Jeong et.al](https://raw.gitmirror.com/congyuxiaoyoudao/Picgo-ImageBed/main/TA-interludes/Interlude%205.PoissonRecon/202508201058142.png#center)

0x02 泊松方程 Poisson Equation

泊松表面重建其实不需要对泊松方程有什么很深刻的数学物理了解，笔者也非相关专业，所以就仅凭自己的想法写一点更为直观的解释

Interlude 4. 在点云数据中估计法线

Wed, 02 Jul 2025 00:00:00 +0000

3DGS 的原论文中，每个高斯是不存法线信息的，然而后续工作中，也有研究人员将法线和 BRDF 信息进行训练，这样一来，就可以在后续的光栅化过程中输出 GBuffer，完成 relighting 的任务。生成初始法线，可以仅考虑高斯的均值，基于局部平面假设进行估计。

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这篇文章将会包含以下内容：

什么是 PLY
利用最小二乘法估计点云法线
使用 PCL 的实现
在 CloudCompare 中实现

For reference👇：

0x01 PLY 格式

PLY（Polygon File Format, also known as the Stanford Triangle Format），是一种用于存储多边形集合的图形对象的格式。有两种子格式：

ASCII：ASCII 编码表示，直观易读
Binary：二进制格式，存储空间小，能够快速保存和加载

PLY 文件的经典结构如下：

Header  // description field, containing element type, property and count
Vertex List  // list of data for each vertex
Face List  // list of data for each face
(List of other elements)

Header 描述文件格式，评论（comment）以及每个元素的描述，并在其后指定该元素属性。例如一个以 ASCII 子格式保存的 PLY 文件，其 Header 如下：

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