Interlude 5. Poisson Reconstruction
0x00 To begin with 这篇文章将会包含以下内容： 泊松重建的一些前置数学知识 泊松重建算法原理及推导过程 For reference： 📺 Laplace’s Equation and Poisson’s Equation 📖 如何通俗地理解拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程？ 📖 泊松表面重建详解 📃 Poisson Surface Reconstruction 0x01 隐函数表达 Implicit Expression 表达一个三维曲面，例如球心位于原点、半径为 $r$ 的球面，可以使用球的标准方程： $$ F(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0 $$ 该方程（形如 $F(x,y,z)=0$）就定义了球面的隐函数表达，它将所有变量都放在等式一侧，隐含了因变量关于自变量的函数关系，在描述球面的情况下，$z$ 关于 $x,y$ 的关系可以显化为： $$ z=\sqrt{ r^{2}-x^{2}-y^{2} } $$ 这就是隐函数的一种显式表达，它描述球面在 $xOy$ 平面以上的部分。如果需要描述整个球面，还需要 $xOy$ 平面以下的部分： $$ z=-\sqrt{ r^{2}-x^{2}-y^{2} } $$ 也就是说显化的隐函数可能无法覆盖所有满足隐函数方程的解集，因为显函数是一一映射，而隐函数可能是一对多或者多对多的映射。 在计算机图形学中，SDF 就是一种常用的可以描述表面的隐函数表达： $$ \phi(\mathbf{x})=\pm \text{dist}(\mathbf{x},\partial \Omega) $$ SDF 以物体表面为界，空间中任意一点 $\mathbf{x}$ 的 SDF 函数值为与物体表面的带符号距离（物体内部为负、外部为正）。自然的，物体表面可以用 SDF 值为零的水平集描述： $$ \{\mathbf{x}\,|\,\phi(\mathbf{x})=0\} $$  0x02 泊松方程 Poisson Equation 泊松表面重建其实不需要对泊松方程有什么很深刻的数学物理了解，笔者也非相关专业，所以就仅凭自己的想法写一点更为直观的解释 ...